證明一
1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中點(diǎn)。EC、FB交于G。
求證：EG=1/2CG
證明：過E作EH∥BF交AC于H。
∵AE=BE，EH//BF
∴AH=HF=1/2AF(平行線分線段成比例定理)
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴HF:CF=1/2
∵EH∥BF
∴EG:CG=HF:CF=1/2
∴EG=1/2CG
方法二 連接EF
利用三角形相似
求證：EG=1/2CG 即證明EF=1/2BC
利用中位線可證明EF=1/2BC利用中位線可證明EF=1/2BC
2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。
證明方法：
在△ABC內(nèi)，三邊為a，b，c，點(diǎn)O是該三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分別為a、b、c邊上的中線。根據(jù)重心性質(zhì)知：
OA'=1/3AA'
OB'=1/3BB'
OC'=1/3CC'
過O，A分別作a邊上高OH'，AH
可知OH'=1/3AH
則，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC
同理可證S△AOC=1/3S△ABC
S△AOB=1/3S△ABC
所以，S△BOC=S△AOC=S△