高中數學平面向量的公式的知識點總結

高中數學有關平面向量的公式的知識點總結

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　　★定比分點

　　定比分點公式（向量P1P=λ?向量PP2）

　　設P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個實數λ，使向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。

　　若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有

　　OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分點向量公式）

　　x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分點坐標公式）

　　我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式

　　★三點共線定理

　　若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點共線

　　★三角形重心判斷式

　　在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心

　　[編輯本段]向量共線的重要條件

　　若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實數λ，使a=λb。

　　a//b的重要條件是xy'-x'y=0。

　　★零向量0平行于任何向量。

　　[編輯本段]向量垂直的充要條件

　　a⊥b的充要條件是a?b=0。

　　a⊥b的充要條件是'+yy'=0。

　　★零向量0垂直于任何向量.

　　設a=（x，y），b=(x'，y')。

　　★向量的加法

　　向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

　　AB+BC=AC。

　　a+b=(x+x'，y+y')。

　　a+0=0+a=a。

　　向量加法的運算律：

　　交換律：a+b=b+a；

　　結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

　　★向量的減法

　　如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0

　　AB-AC=CB.即“共同起點，指向被減”

　　a=(x,y) b=(x',y')則a-b=(x-x',y-y').

　　★數乘向量

　　實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

　　當λ＞0時，λa與a同方向；

　　當λ＜0時，λa與a反方向；

　　當λ=0時，λa=0，方向任意。

　　當a=0時，對于任意實數λ，都有λa=0。

　　注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

　　實數λ叫做向量a的系數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

　　當∣λ∣＞1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍；

　　當∣λ∣＜1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍。

　　★數與向量的乘法滿足下面的運算律

　　結合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。

　　向量對于數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

　　數對于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

　　數乘向量的消去律：①如果實數λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

　　★向量的的數量積

　　定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規定0≤〈a,b〉≤π

　　定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量，記作a?b。若a、b不共線，則ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共線，則a?b=+-∣a∣∣b∣。

　　向量的數量積的坐標表示：ab=xx'+yy'。

　　向量的數量積的運算律

　　ab=ba（交換律）；

　　(λa)b=λ(ab)(關于數乘法的結合律)；

　　（a+b)c=ac+bc（分配律）；

　　★向量的數量積的性質

　　a?a=|a|的平方。

　　a⊥b 〈=〉ab=0。

　　|ab|≤|a||b|。

　　★向量的數量積與實數運算的主要不同點

　　1、向量的數量積不滿足結合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(ab)^2≠a^2b^2。

　　2、向量的數量積不滿足消去律，即：由ab=ac (a≠0)，推不出b=c。

　　3、|ab|≠|a||b|

　　4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。

　　4、向量的向量積

　　定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

　　★向量的向量積性質：

　　∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

　　a×a=0。

　　a‖b〈=〉a×b=0。

　　★向量的向量積運算律

　　a×b=-b×a；

　　（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

　　（a+b）×c=a×c+b×c.

　　注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。

　　★向量的三角形不等式

　　1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

　　①當且僅當a、b反向時，左邊取等號；

　　②當且僅當a、b同向時，右邊取等號。

　　2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

　　①當且僅當a、b同向時，左邊取等號；

　　②當且僅當a、b反向時，右邊取等號。

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