廣西都安隆福鄉(xiāng)崇山小學(xué) 韋文祝
[摘 要] 正向思維是解決問題的正常途徑，但對一些問題常常一籌莫展；若改變思維方向，用逆向思維方法，可以使問題迎刃而解。
[關(guān)鍵詞] 逆向思維
逆向思維是一種創(chuàng)造性思維。逆向思維是相對正向思維而言，它是與人們常規(guī)思維程序相反的，不是從原因(或條件)來推知結(jié)果(或結(jié)論)，而是從相反方向展開思路，分析問題，而得出的結(jié)論。
由于數(shù)學(xué)定義，公式都有可逆性，不少數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及解題過程也有可逆性，所有這些可逆性理論為逆向思維提供了理論依據(jù)。因此，在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，應(yīng)擺脫思維定勢的束縛，打破常規(guī)，從問題的反面入手，這樣常能由“山窮水盡”進(jìn)入“柳暗花明”。本文從以下幾個(gè)方面說明如何應(yīng)用“逆向思維”巧解數(shù)學(xué)題。
1 利用公式的可逆性，使難題迎刃而解
善于將數(shù)學(xué)公式從右到左熟練地逆向運(yùn)用，是對公式真正理解程度掌握的重要標(biāo)志。當(dāng)解題思路受阻，出現(xiàn)思維障礙時(shí)，如能靈活地將公式逆向運(yùn)用，能使解題豁然開朗。
例1、求 的值
分析：若按習(xí)慣正用公式，極易想到對 進(jìn)行積化和差，得 ，但由于沒有出現(xiàn)特殊角，無法求出其值，此時(shí)如再利用倍角公式展開，仍然不能奏效，若聯(lián)想到二倍角公式的可逆性，逆向運(yùn)用二倍角公式，本題可順利獲解。
解：
2 借助數(shù)學(xué)運(yùn)算的可逆性，逆向探求解題途徑
數(shù)學(xué)中的許多運(yùn)算都是可逆的，例如加法與減法，乘法與除法，乘方與開方，指數(shù)運(yùn)算與對數(shù)運(yùn)算，三角運(yùn)算與反三角運(yùn)算等等。在同一級運(yùn)算中，一種運(yùn)算的逆運(yùn)算都是由它的正運(yùn)算引出的，解題時(shí)，注意借助數(shù)學(xué)運(yùn)算的可逆性，學(xué)會逆向運(yùn)算法則，可以有效地培養(yǎng)運(yùn)算能力，提高解題速度。
例2、已知 、 、 為正數(shù)，且 ，求證： 。
分析：觀察條件等式的左邊，逆向聯(lián)想到 是反正弦值。可以把條件等式轉(zhuǎn)換成正弦來解答，所以可證。
證明：設(shè) , ， ，則 ， ， ,即求： 。
即
3 利用“正難則反”的原則，使解題思路豁然開朗
解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題，若正面情況比較復(fù)雜，或從正面無法入手時(shí)，則必須快速轉(zhuǎn)向，采取順繁則逆，正難則反的策略。
例3、若下列三個(gè)方程： ， ， ，至少有一個(gè)方程有實(shí)根。試求實(shí)數(shù) 的取值范圍。
分析：三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，情況很復(fù)雜，可能有七種情況分別討論，十分復(fù)雜，但從反面入手，只有一種情況，即三個(gè)方程都沒有實(shí)根，情況仍為簡單，由此得以下解法。
解：若三個(gè)方程均無實(shí)數(shù)根，則有
解得 ，要使三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則 的取值范圍為( ， ,
4 把握因果關(guān)系的可逆性，逆向探求解題途徑
數(shù)學(xué)過程有一定的因果關(guān)系，通常從原因推知結(jié)論，但有時(shí)可反過來，從肯定的結(jié)論入手進(jìn)行推理，推出符合條件或易證的命題，并且推理的每一步均可逆，則可證得原命題成立，這種“執(zhí)果索因”的分析方法，便于思考，有益于獲得解題捷徑。
例4、求證： 的最小值是
分析：若要證明函數(shù) 的最小值是 ，只需證 成立，則移項(xiàng)得 ，變形為 ，即 ，當(dāng) 時(shí)，此不等式成立，每一步都可逆推回去。
5 利用反證法思想，尋找解題佳徑
數(shù)學(xué)題浩似煙海，如果單純用一種思維方式去思考，有時(shí)會思路閉塞，陷入困境，若善于從不同角度、不同方向思考問題，熟練靈活運(yùn)用反證法，能使一些難題迎刃而解，出奇制勝地解決問題。
例5、已知銳角 、 滿足 ，求證： 。
分析：本題若直接由已知條件證明 ，確有很大的難度。但若從反面出發(fā)，考慮 ， 與 三種可能情況，則間接得證。
證明：(1)假若 且 、 為銳角，則 。
，即
。--①
同理 ，即
。--②
由①+②得 ，這與已知條件矛盾。
不大于 。
(2)假若 ，則 。
同上證法，有 且 。
，這與已知條件矛盾
不小于 。
綜合上述情況，可知 成立。
本文通過以上五個(gè)方面來討論逆向思維方法。解決一些數(shù)學(xué)問題，充分顯示出逆向思維是重要的數(shù)學(xué)思維方法。但是，由于我們的教學(xué)過程大部分是順向思維，往往使學(xué)生在很大程度上形成思維定勢，這樣在某種程序上制約了逆向思維的建立，所以在以后教學(xué)中如何對學(xué)生進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練，幫助學(xué)生由單向思維向雙向思維發(fā)展，提高解題能力，這仍然需要廣大教師努力去工作。
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