多項式函數及其根
給出多項式f∈R[x1,...,xn]以及一個R-代數A。對(a1，...，an)∈An，我們把f中的xj都換成aj，得出一個A中的元素，記作f(a1...an)。如此，f可看作一個由An到A的函數。
若然f(a1...an)=0，則(a1...an)稱作f的根或零點。
例如f=x^2 1。若然考慮x是實數、復數、或矩陣，則f會無根、有兩個根、及有無限個根！
例如f=x-y。若然考慮x是實數或復數，則f的零點集是所有(x,x)的集合，是一個代數曲線。事實上所有代數曲線由此而來。
另外，若所有系數為實數多項式P(x)有復數根Z，則Z的共軌復數也是根。
若P（x）有n個重疊的根，則P‘(x)有n-1個重疊根。即若P(x)=(x-a)^nQ(x)，則有a是P’(x)的重疊根且有n-1個。
有理根定理應用
為了確定一個多項式是否有任何有理根，使用該定理，如果是這樣就可以找出它們。 由于定理給出了完全減少的有理根的分子和分母作為某些數的除數的約束，所以可以檢查除數的所有可能的組合，或者找出合理的根，或者確定沒有一個。 如果找到一個或多個，則可以將它們從多項式中分解出來，導致較低程度的多項式，其根也是原始多項式的根。