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韓信點(diǎn)兵的故事
韓信是中國古代一位有名的大元帥。他少年時就父母雙亡，生活困難，曾靠乞討為生，還經(jīng)常受到某些潑皮的欺凌，胯下之辱講的就是韓信少年時被潑皮強(qiáng)迫從胯下鉆過的事。后來他投奔劉邦，展現(xiàn)了他杰出的軍事才能，為劉邦打敗了楚霸王項羽立下汗馬功勞，開創(chuàng)了劉漢皇朝四百年的基業(yè)。民間流傳著一些以韓信為主角的有關(guān)聰明人的故事，韓信點(diǎn)兵的故事就是其中的一個。
相傳有一次，韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交戰(zhàn)。雙方大戰(zhàn)一場，楚軍不敵，敗退回營。而漢軍也有傷亡，只是一時還不知傷亡多少。于是，韓信整頓兵馬也返回大本營，準(zhǔn)備清點(diǎn)人數(shù)。當(dāng)行至一山坡時，忽有后軍來報，說有楚軍騎兵追來。韓信馳上高坡觀看，只見遠(yuǎn)方塵土飛揚(yáng)，殺聲震天。漢軍本來已經(jīng)十分疲憊了，這時不由得人心大亂。韓信仔細(xì)地觀看敵方，發(fā)現(xiàn)來敵不足五百騎，便急速點(diǎn)兵迎敵。不一會兒，值日副官報告，共有1035人。他還不放心，決定自己親自算一下。于是命令士兵3人一列，結(jié)果多出2名;接著，他又命令士兵5人一列，結(jié)果多出3名;再命令士兵7人一列，結(jié)果又多出2名。韓信馬上向?qū)⑹總冃迹褐等崭惫儆嬪e了，我軍共有1073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人。漢軍本來就信服自己的統(tǒng)帥，這一來更相信韓信是“神仙下凡”、“神機(jī)妙算”，于是士氣大振。一時間旌旗搖動，鼓聲喧天，漢軍個個奮勇迎敵，楚軍頓時亂作一團(tuán)。交戰(zhàn)不久，楚軍大敗而逃。
戰(zhàn)事結(jié)束后，部將好奇地問韓信：“大帥是如何迅速地算出我軍人馬的呢?”韓信說：“我是根據(jù)編隊時排尾的余數(shù)算出來的。”
韓信到底是怎么算出來的呢?
這是中國古代流傳于民間的一道趣味算術(shù)題，叫做韓信點(diǎn)兵，還有一首四句詩隱含了解題的法門：
“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝。
七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。”
詩里讓人記住這幾個數(shù)字：3與70，5與21，7與15，還有105(也就是3、5、7的公倍數(shù))。這些數(shù)是什么意思呢?題中3人一列多2人，用2×70;5人一列多3名，用3×21;7人一列多2人，用2×15，三個乘積相加：
2×70+3×21+2×15=233
用233除以3余2，除以5余3，除以7余1，符合題中條件。但是，因為105是3、5、7的公倍數(shù)，所以233加上或減去若干個105仍符合條件。這樣一來，128、338、443、548、653……都符合條件。總之，233加上或減去105的整數(shù)倍，都可能是答案。韓信根據(jù)現(xiàn)場觀察，選擇了和1035最接近的數(shù)字1073。
詩歌里的70，21，15又是怎么得來的呢?
70是5和7的公倍數(shù)，除以3余1;
21是3和7的公倍數(shù)，除以5余1;
15是3和5的公倍數(shù)，除以7余1。
中國有一本數(shù)學(xué)古書《孫子算經(jīng)》也有類似的問題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何?”
答曰：“二十三。”
術(shù)曰：“三三數(shù)之剩二，置一百四十，五五數(shù)之剩三，置六十三，七七數(shù)之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數(shù)之剩一，則置七十，五五數(shù)之剩一，則置二十一，七七數(shù)之剩一，則置十五，即得。”
什么意思呢?用現(xiàn)代語言說明這個解法就是：
首先找出能被5與7整除而被3除余1的數(shù)70，被3與7整除而被5除余1的數(shù)21，被3與5整除而被7除余1的數(shù)15。如果所求的數(shù)被3除余2，那么就取數(shù)70×2=140，140是被5與7整除而被3除余2的數(shù)。如果所求數(shù)被5除余3，那么取數(shù)21×3=63，63是被3與7整除而被5除余3的數(shù)。如果所求數(shù)被7除余2，那就取數(shù)15×2=30，30是被3與5整除而被7除余2的數(shù)。
140+63+30=233，由于63與30都能被3整除，所以233與140這兩數(shù)被3除的余數(shù)相同，都是余2，同理233與63這兩數(shù)被5除的余數(shù)相同，都是3，233與30被7除的余數(shù)相同，都是2。所以233是滿足題目要求的一個數(shù)。 105是3、5、7的公倍數(shù)，前面說過，凡是滿足233加減105的整數(shù)倍的數(shù)都是符合題意的，因此依定理譯成算式解為：
70×2+21×3+15×2=233
233-105×2=23
這就是有名的“中國剩余定理”，或稱“孫子定理”，它和韓信點(diǎn)兵是一個道理。
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