四邊形內(nèi)角和定理的證明
四邊形內(nèi)角和定理的證明
在一次《多邊形的內(nèi)角和》的課堂上，有一個教學(xué)環(huán)節(jié)是這樣設(shè)計(jì)的：讓學(xué)生思考任意一個四邊形的內(nèi)角和是多少？用這種方法能否求五邊形、六邊形等多邊形的內(nèi)角和？［1］而在課堂上，同學(xué)們給出了許多種求四邊形內(nèi)角和的方法，雖然有的方法不太適合推廣到五邊形、六邊形，但其中不乏有課前我沒有意料到的方法，當(dāng)然我也沒想到學(xué)生們會有如此多的方法。為了不打斷學(xué)生的想法，給學(xué)生一個展示自我的機(jī)會，更為了拓展學(xué)生的思維，我抓住了這一難得的機(jī)會，充分讓學(xué)生展示他們活躍的思維，而把預(yù)先準(zhǔn)備的一些內(nèi)容放到了下一節(jié)課。我不知道這樣做好不好，但至少有一點(diǎn)，學(xué)生們主動地進(jìn)行了觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動，這是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使不同的人在數(shù)學(xué)上得到了不同的發(fā)展［2］。下面就一一列舉學(xué)生們的解法，其中解法一～解法五是預(yù)先設(shè)計(jì)的。
解法一：如圖1，連接AC，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于兩個三角形內(nèi)角和的和，即180°×2=360°。
解法二：如圖2，連接AC、BD，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于四個三角形內(nèi)角和的和減去360°，即180°×4-360°=360°。
解法三：如圖3，在四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC、PD，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于四個三角形內(nèi)角和的和減去360°，即180°×4-360°=360°。
解法四：如圖4，在BC邊上取一點(diǎn)P，連接PA、PD，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于三個三角形內(nèi)角和的和減去180°，即180°×3-180°=360°。
解法五：如圖5，在四邊形ABCD外取一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC、PD，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于三個三角形內(nèi)角和的和減去180°，即180°×3-180°=360°。
解法六：如圖6，連接BD，延長BA至E，延長BC至F，∵∠EAD=∠ABD+∠BDA，∠FCD=∠CBD+∠BDC，∴四邊形ABCD的內(nèi)角和等于（∠EAD+∠BAD）+（∠FCD+∠BCD）=180°+180°=360°。
解法七：如圖7，過點(diǎn)A、D分別作BC的平行線AE、DF，則∠EAB=∠B，∠EAD=∠ADF，∠CDF=∠C，∴四邊形ABCD的內(nèi)角和等于∠BAD+∠EAB+（∠CDF+∠CDA）=∠BAD+∠EAB+∠ADF =∠BAD+∠EAB+∠EAD =360°。
解法八：如圖8，過點(diǎn)A、D分別作BC的垂線AE、DF，垂足分別為E、F，過點(diǎn)A作DF的垂線AG，垂足為G，則∠AEC=∠DFB=∠AGF=∠EAG=90°，∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠DFB=∠C+∠CDF，∠AGF=∠DAG+∠ADF，∴四邊形ABCD的內(nèi)角和等于∠AEC+∠DFB+∠AGF+∠EAG=90°×4=360°。
解法九：若AB//CD，則∠B+∠C=∠A+∠D=180°，∴∠B+∠C+∠A+∠D=360°；若AB不平行于CD，如圖9，不妨設(shè)BA、CD的延長線相交于點(diǎn)E，∵∠BAD=∠E+∠ADE，∠ADC=∠E+∠EAD，∴∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=（∠B+∠C+∠E）+（∠ADE +∠E+∠EAD）=180°+180°=360°。綜上可得，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于360°
解法十：連接AC，并延長至G，過點(diǎn)C分別作AD、AB的平行線CE、CF，則∠D=∠DCE，∠DAC=∠ECG，∠BAC=∠FCG，∠B=∠FCB，∴四邊形ABCD的內(nèi)角和=∠B+∠BAC+∠CAD+∠D+∠BCD =∠FCB+∠FCG +∠ECG +∠DCE +∠BCD =360°。
以上這些證法中，充分發(fā)揮了學(xué)生的想象力、綜合運(yùn)用知識的能力，很好地訓(xùn)練了學(xué)生的思維，體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”這一重要數(shù)學(xué)思想方法地靈活運(yùn)用，這一點(diǎn)對學(xué)生的發(fā)展很重要，而這也是新課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的。這堂課可能是一節(jié)不合格的課，但我還是希望我們數(shù)學(xué)老師能在課堂上不斷探索、試驗(yàn)，大膽創(chuàng)新，只要我們本著新課程的理念，本著以學(xué)生的發(fā)展為本，相信中國數(shù)學(xué)教育的未來一定會取得輝煌的成績。
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