關于公式法的教案范本
關于公式法的教案范本
教學內容
1.一元二次方程求根公式的推導過程;
2.公式法的概念;
3.利用公式法解一元二次方程.
教學目標
理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，會熟練應用公式法解一元二次方程.
復習具體數字的一元二次方程配方法 的解題過程，引入ax2+bx+c=0(a0)的求根公式的推導公式，并應用公式法解一元二次方程.
重難點關鍵
1.重點：求根公式的推導和公式法的應用.
2.難點與關鍵：一元二次方程求根公式法的推導.
教學過程
一、復習引入
(學生活動)用配方法解下列 方程
(1)6x2-7x+1=0 (2)4x2-3x=52
(老師點評) (1)移項，得：6x2-7x=-1
二次項系數化為1，得：x2- x=-
配方，得：x2- x+( )2=- +( )2
(x- )2=
x- = x1= + = =1
x2=- + = =
(2)略
總結用配方法解一元二次方程的步驟(學生總結，老師點 評).
(1)移項;
(2)化二次項系數為1;
(3)方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方;
(4 )原方程變形為(x+m)2=n的形式;
(5)如果右邊是非負數，就可以直接開平方求出方程的解，如果右邊是負數，則一元二次方程無解.
二、探索新知
如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a0)，你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請同學獨立完成下面這個問題.
問題：已知ax2+b x +c=0(a0)且b2-4ac0，試推導它的兩個根x1= ，x2=
分析：因為前面具體數字已做得很多，我們現在不妨把a、b、c也當成一個具體數字，根據上面的解題步驟就可以一直推下去.
解：移項，得：ax2+bx=-c
二次項系數化為1，得x2+ x=-
配方，得：x2+ x+( )2=- +( )2
即(x+ )2=
∵b2-4ac0且4a20
0[來源:ZXXK]
直接開平方，得：x+ =
即x=
x1= ，x2=
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根由方程的系數a 、b、c而定，因此：
(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當b-4ac0時，將a、b、c代入式子x= 就得到方程的根.
(2)這個式子叫做一元二次方程的求根公式.
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數根.
例1.用公式法解下列方程.
(1)2x2-4x-1=0 (2)5x+2=3x2
(3)(x-2)(3x-5)=0 (4)4x2-3x+1=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先應把它化為一般形式，然后代入公式即可.
解：(1)a=2，b=-4，c=-1
b2-4ac=(-4)2-42(-1)=240
x=
x1= ，x2=
(2)將方程化為一般形式
3x2-5x-2=0
a=3，b=-5，c=-2
b2-4ac=(-5)2-43(-2)=490
x=
x1=2，x 2=-
(3)將方程化為一般形式
3x2-11x+9=0
a=3，b=-11，c=9
b2-4ac=(-11)2-439=130
x=
x1= ，x2=
(3)a=4，b=-3，c=1
b2-4ac=(-3)2-441=-70
因為在實數范圍內，負數不能開平方，所以方程無實數根.
三、鞏固練習
教材P42 練習1.(1)、(3)、(5)
四、應用拓展
例2.某數學興趣小組對關于x的方程(m+1) +(m-2)x-1=0提出了下列問題.
(1)若使方程為一元二次方程，m是否存在?若存在，求出m并解此方程.
(2)若使方程為一元二次方程m是否存在?若存在，請求出.
你能解決這個問題嗎?
分析：能.(1)要使它為一元二次方程，必須滿足m2+1=2，同時還 要滿足(m+1)0.
(2)要使它為一元一次方程，必須滿足:
① 或② 或③
解：(1)存在.根據題意，得：m2+1=2
m2=1 m=1
當m =1時，m+1=1+1=20
當m=-1時，m+1=-1+1=0(不合題意，舍去)
當m=1時，方程為2x2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b2-4ac=(-1)2-42 (-1)=1+8=9
x=
x1=，x2=-
因此，該方程是一元二次方程時，m=1，兩根x1=1，x2=- .
(2)存在.根據題意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0
因為當m=0時，(m+1)+(m-2)=2m-1=-10
所以m=0滿足題意.
②當m2+1=0，m不存在.
③當m+1=0，即m=-1時，m-2=-30
所以m=-1也滿足題意.
當m=0時，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
當m=-1時，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此，當m=0或-1時，該方程是一元一次方程，并且當m=0時，其根為x= -1;當m=-1時，其一元一次方程的根為x=- .
五、歸納小結
本節課應掌握：
(1)求根公式的概念及其推導過程;
(2)公式法的概念;
(3)應用公式法解一元二次方程;
(4)初步了解一元二次方程根的情況.
六、布置作業
1.教材P45 復習鞏固4.
2.選用作業設計:
一、選擇題
1.用公式法解方程4x2-12x=3，得到( ).
A.x= B.x=
C.x= D.x=
2.方程 x2+4 x+6 =0的根是( ).
A.x1= ，x2= B.x1=6，x2=
C.x1=2 ，x2= D.x1=x2=-
3.(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0，則m2-n2的值是( ).
A.4 B.-2 C.4或-2 D.-4或2
二、填空題
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是________，條件是________.
2.當x=______時，代數式x2-8x+12的值是-4.
3.若關于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根為0，則m的值是_____.
三、綜合提高題
1.用公式法解關于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0.
2.設x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根，(1)試推導x1+x2=- ，x1(2)求代數式a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值.
3.某電廠規定：該廠家屬區的每戶居民一個月用電量不超過A千瓦時 ，那么這戶居民這個月只交10元電費，如果超過A千瓦時，那么這個月除了交10元用電費外超過部分還要按每千瓦時 元收費.
(1)若某戶2月份用電90千瓦時，超過規定A千瓦時，則超過部分電費為多少元?(用A表示)
(2)下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費情況
月份 用電量(千瓦時) 交電費總金額(元)
3 80 25
4 45 10
根據上表數據，求電廠規定的A值為多少?
答案:
一、1.D 2.D 3.C
二、1.x= ，b2-4ac0 2.4 3.-3
三、1.x= =a│b│
2.(1)∵x1、x2是ax2+bx+c=0(a0)的兩根，
x1= ，x2=
x1+x2= =- ，
x1x2= =
(2)∵x1，x2是ax2+bx+c=0的兩根，ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0
原式=ax13+bx12 +c1x1+ax23+bx22+cx2
=x1(ax12+bx1+c)+x2(ax22+bx2+c)
=0
3.(1)超過部分電費=(90-A) =- A2+ A
(2)依題意，得：(80-A) =15，A1=30(舍去)，A2=50
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